Построение АЧХ и ФЧХ спектра периодического сигнала
Для анализа сигналов и их обработки важное значение имеет разложение заданной функции 
по различным ортогональным системам. Бесконечная система действительных функций 
называется ортогональной на отрезке 
, если 
При этом предполагается, что 
, т.е. ни одна из функций рассматриваемой системы не равна тождественно нулю.
Если существует система непрерывных ортогональных функций 
, то произвольная кусочно-непрерывная функция , для которой выполняется условие абсолютной интегрируемости, т.е. 
, иметь конечное число максимумов и минимумов, а также конечное число разрывов на каждом конечном интервале, то такая функция может быть представлена в виде суммы обобщенного ряда Фурье
.
В котором коэффициенты 
называются спектральными составляющими сигнала и определяются
Наибольшее распространение получила ортогональная система основная на тригонометрических функциях - синусах и косинусах. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, которая сохраняет свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических сигналов через линейные цепи.
Переходя к функциям времени и учитывая, что функция 
, аппроксимирующая заданный сигнал, периодическая, то ее можно представить в виде суммы ряда Фурье в тригонометрической форме, коэффициенты которого вычисляются по формулам
,
где Т - интервал ортогональности совпадающий с периодом функции , а 
- частота основной гармоники.
Совокупность коэффициентов 
, характеризующих амплитуды гармонических составляющих, называется амплитудно-частотным спектром периодического сигнала.
Фаза n - ой гармоники, характеризующую фазу спектральных составляющих, определяется по формуле:
Так как сигнал периодический, он имеет линейчатый спектр, представленный набором гармоник с частотами, кратными частоте основной гармоники. Значения вычисленных 25 гармоник, соответствующих АЧХ, ФЧХ и частоты приведены в таблице 5.
Таблица 5
Значения коэффициентов ряда Фурье, АЧХ и ФЧХ сигнала
|
n |
a(n), mV |
b(n), mV |
A(n), mV |
Q(n), рад |
w, рад/с |
|
0 |
14,2000 |
0,0000 |
14,2 |
0 |
0,00 |
|
1 |
1,7597 |
9,7025 |
9,860815 |
-1,39138 |
2,69 |
|
2 |
-1,4792 |
0,3752 |
1,526002 |
0,248437 |
5,37 |
|
3 |
-4,7311 |
9,4298 |
10,55003 |
1,105776 |
8,06 |
|
4 |
-13,8500 |
9,7011 |
16,90959 |
0,611022 |
10,74 |
|
5 |
-3,1627 |
-3,7730 |
4,923199 |
-0,87317 |
13,43 |
|
6 |
-2,9173 |
-20,1200 |
20,33039 |
-1,42681 |
16,11 |
|
7 |
8,3018 |
14,5300 |
16,73443 |
-1,0517 |
18,80 |
|
8 |
-6,5793 |
-1,1721 |
6,68287 |
-0,17629 |
21,48 |
|
9 |
0,6200 |
-7,6708 |
7,695838 |
1,490142 |
24,17 |
|
10 |
2,5093 |
3,1108 |
3,996666 |
-0,89202 |
26,85 |
|
11 |
-0,6829 |
0,6483 |
0,941618 |
0,75943 |
29,54 |
|
12 |
1,3157 |
-0,7976 |
1,538538 |
0,544995 |
32,22 |
|
13 |
-1,6842 |
0,8245 |
1,875151 |
0,455249 |
34,91 |
|
14 |
0,5239 |
0,0008 |
0,523904 |
-0,00146 |
37,59 |
|
15 |
0,3592 |
-0,4626 |
0,585672 |
0,910597 |
40,28 |
|
16 |
-0,4881 |
0,4553 |
0,667455 |
0,750668 |
42,96 |
|
17 |
-0,6151 |
0,6110 |
0,866995 |
0,782084 |
45,65 |
|
18 |
0,1154 |
-1,1905 |
1,196076 |
1,474196 |
48,33 |
|
19 |
0,1920 |
-0,2322 |
0,301319 |
0,879784 |
51,02 |
|
20 |
0,0618 |
0,6214 |
0,624441 |
-1,47164 |
53,70 |
|
21 |
-0,2227 |
0,1874 |
0,291055 |
0,699382 |
56,39 |
|
22 |
-0,1369 |
-1,3022 |
1,309337 |
-1,46604 |
59,07 |
|
23 |
0,7937 |
0,7439 |
1,087841 |
-0,75302 |
61,76 |
|
24 |
-0,4100 |
0,6026 |
0,728876 |
0,973406 |
64,44 |
|
25 |
-0,1775 |
-0,7987 |
0,818189 |
-1,35212 |
67,13 |
Статья в тему
Беспроводные мобильные сети
Мобильные устройства принято классифицировать по поколениям (G - generation), к которому они принадлежат. Наименование началось с появления телефонов поколения 1G, которые часто называют "кирпичами”. Они действительно были первыми телефонами, появившимися на рынке. Далее последовало второ ...