Исследование нелинейной САР при входном воздействии f(t)=B*sin(щt)

Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием:

g(t)=B*sin(щt) (4.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

Q(p)x+R(p)F(x,px)=S(p)f(t) (4.2)

Решение для вынужденных колебаний будем искать в форме

x= A*sin(щt+ц), (4.3) y x

где щ задано, а неизвестными являются амплитуда А и фаза ц.

Гармоническая линеаризация нелинейности:

F(x,px)={q(A)+(b(A)/щ)*p}x, (4.4)

Подставим (4.1), (4.3), (4.4) в уравнение системы (4.2):

[Q(p)x+R(p)(q(A)+(b(A)/щ)*p)]* A*sin(щt+ц)=S(p) B*sin(щt) (4.5)

Подставив сюда p=jщ, sin(щt)=ejщt, тога получим

[Q(jщ)+R(jщ)(q(A)+jb(A))]* A*ej(щt+ц)=S(jщ)Bejщt, (4.6)

или Z(A)= Be-jц, (4.7)

где Z(A)= A*[Q(jщ)+R(jщ)(q(A)+jb(A))]/S(jщ) (4.8)

Построив графики уравнений (4.7), (4.8) графически определяем наличие вынужденных колебаний и его параметров. Обратимся к нашей системе.

Выведем уравнение динамики системы вида (4.2)

,

где и1=g(t)= B*sin(щt)

Согласно уравнению (4.2):

Подставим полученные значения в уравнение (4.8)

Тогда получим уравнение для построения Z(A):

Рис. 4. Нахождение Впор при w=2.2

На комплексной плоскости (рис. 4) построено 1 график при и 5 графиков Z(A) по формуле (4.8) при различных значениях:, , , ,. Амплитуда A изменяется в диапазоне от 0.3 до 300.

При Впор=0.215:

- если w=3, то A=25.069

если w=4, то A= 27.859

если w=10, то A= 21.788

если w=15, то A= 16.217

Согласно графику окружность пересекает кривую при данном значении частоты внешнего воздействия только при радиусе, большем некоторого порогового значения . То есть, вынужденные одночастотные колебания в системе возможны только при соблюдении условия .

При согласно формуле при .

Построив серию кривых для разных значений частоты внешнего воздействия , получим график зависимости порогового значения от частоты (рис. 5).

Рис. 5. Область захватывания

Получили область (рис. 5), в которой существуют одночастотные вынужденные колебания, так называемую область захватывания.

Статья в тему

САУ громкостью звука в аудитории
Цель курсового проекта - разработать систему автоматического управления громкостью звука в аудитории. Необходимо обеспечить заданные запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, при заданных показателях качества. При необходимости САУ следует скорректировать и вычислить параметры корректирующего устр ...